« Le mathématicien ne peut pas créer arbitrairement quelque chose, aussi peu que le géographe, lui aussi, doit seulement découvrir ce qui est là et lui donner un nom». David Hilbert.

L'enseignement véritable des mathématiques doit s'obtenir à travers tout ce qu'on voit et tout ce qu'on entend. Pour un élève, l'absence d'une bonne représentation de l'environnement engendre une difficulté insurmontable à maitriser les concepts, à dominer les abstractions, sans lesquelles aucun énoncé scientifique n'est possible. Une bonne représentation de l'espace est très opératoire. Elle permet de poser une assiette sans bruit sur une pile d'assiettes, elle permet de sortir un verre de son placard sans le heurter, un vêtement de sa penderie sans le froisser, elle permet de se diriger, de distinguer la droite de la gauche [1]. Que doivent acquérir les étudiants en mathématiques supérieures? Ils doivent avoir au moins une culture de mathématiques supérieures. Ils doivent connaître un peu d'histoire des mathématiques, de leurs évolutions, des mathématiciens célèbres, des problèmes célèbres de mathématiques, les médaillés FIELDS et leurs contributions dans l'épanouissement de cette matière exacte.

Les mathématiques supérieures

Les mathématiques se fondent sur des hypothèses qu'elles considèrent comme des principes ou axiomes. Dans le raisonnement, on cherche, on calcule. Les démonstrations s'imposent nécessairement à l'intelligence et un acquiescement leur est toujours donné. L'exigence de rigueur et d'absolu est le fondement même de la mathématique. Les notions géométriques sont immuables et éternelles, et de plus, elles nous introduisent à la connaissance des lois de l'univers. Il est nécessaire d'exercer son esprit et de le contrôler. La notion de démonstration mathématique n'apparaît qu'avec Thalès, un mathématicien ou géomètre grec. Géométrie signifie aussi « mesure de la Terre ». Depuis l'Antiquité, les Eléments de géométrie, d'Euclide, sont le modèle de l'?uvre mathématique [2]. Euclide commence son exposé de la géométrie plane, géométrie dans le plan ou géométrie euclidienne par des définitions et des axiomes, affirmations de vérités générales. La géométrie fut à l'origine de la philosophie pythagoricienne qui voyait dans les formes et les nombres les principes de toute chose. En mathématiques, respectivement trois et deux années pour les fondements et l'obtention d'une licence et pour la spécialisation et l'obtention du master sont indispensables. Dans l'exposé magistral, une méthode d'enseignement traditionnelle, on obtient un succès mitigé, puisque les étudiants décrochent rapidement. Les lectures, recherches de faits, observations, problèmes posés, questions restées en suspens?peuvent faire l'objet d'exercices s'accommodant bien d'un travail mené individuellement. L'un des objectifs de la formation mathématique est d'entraîner les étudiants à analyser les problèmes de la vie courante, à les formuler ou les modéliser mathématiquement, à résoudre les problèmes mathématiques qui en résultent et à réinterpréter les solutions mathématiques de manière à apporter des réponses intelligibles au problème de départ, de confectionner un outil d'aide à la décision, sous forme d'un logiciel avant tout pédagogique, avec une interactivité ou une interface conviviale et facile à utiliser.

Les mathématiciens célèbres

L'étudiant doit connaître les mathématiciens célèbres, les plus connus comme Euclide, Pythagore, Archimède, Zénon et Ptolémée, Joseph-Louis Lagrange, Pierre Simon de La Place, M. Gauss, M. Lavoisier, Monge, le géomètre, Cauchy, l'analyste, Evariste Gallois l'algébriste, Sophie Germain, Legendre, J. Bernouilli, Joseph Fourrier, N.H. Abel, M. P.L. Wantzel, George Green, Bernhardt Riemann, élève de Gauss, Hermann Gunther Grassman, Henri Poincarré, Karl Weierstrass, Dirichlet, Georg Cantor, J.C. Maxwell, Kovalevsky,

Charles-Jean de la vallée Poussin, Jacques Hadamard, M. G. Peano, David       Hilbert, M E.B.Wilson, J.W.Gibbs, Emile Borel, Henri-Léon Lebesgue, Fréderic Riesz, Maurice Fréchet, Ronald Fischer, D.A.M. Dirac, K. Godel, Leray, Schauder, Norbert Wiener,

A. Zygmund, Marcinkiewicz, Sobolev, A.M.Turing, Vinogradov, I.M. Gelfand, Schrödinger, R. Oppenheimer, J. von Neumann, O. Morgenstern, Stoetzel, André Weil, J. Lerray, Montgomery, Zippin, Nagata, B. Malgrange, W. Feit, J. Thompson, Carleson, K. Appel, W. Haken, R. Griess, G. Gordon et J. Luecke.

Les problèmes célèbres de mathématiques

Une des causes de l'attrait et de fascination que les problèmes célèbres de mathématiques exercent sur les professionnels et amateurs tient à la fois à la simplicité de leur énoncé et à l'échec de leur résolution depuis un temps assez long. La conjecture de Kepler, le théorème de Fermat (1637), la quadrature du cercle, le cinquième postulat d'Euclide et le problème des quatre couleurs en forment la panoplie. En 1852, F. Guthrie soulève une question qui devait rapidement être réglée par des mathématiciens. Suffit-il de quatre couleurs pour colorier une carte divisant une portion de plan en régions, de sorte que deux régions contiguës ne soient pas colorées de même ? L'étudiant doit connaître les problèmes célèbres résolus par les mathématiques ou les applications des mathématiques telles les mathématiques du savon liquide, les modèles mathématiques pour implants dentaires, une forme de cancer traitée par les mathématiques, et que grâce aux maths, l'épilepsie peut être prise de vitesse. Hilbert écrivait : Tant qu'une branche de la science jouit d'une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; Le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. [...] Dans la recherche mathématique, il faut des problèmes. Ainsi n'est-ce pas par la méthode que la science est gagnée ; C'est en voulant résoudre des problèmes que le chercheur trouve de nouvelles méthodes. Au rythme de la faiblesse de niveau dans les études, la géométrie, cette grande spécialité des mathématiques risque d'être citée dans l'avenir comme une curiosité historique. Il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus.

Les médaillés FIELDS

Crée en 1936, la médaille Fields est attribuée tous les quatre ans par un comité issu de l'Union mathématique internationale à un ou des mathématiciens de moins de quarante ans. Quatre médailles au plus sont décernées. La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense pour la reconnaissance de travaux en mathématiques, souvent considérée comme un équivalent du prix Nobel car il n'en existe pas pour cette discipline. Les lauréats se voient attribuer chacun une médaille et un prix de 15 000 dollars canadiens. Du Larousse, la liste des médaillés Fields est fournie ci-dessous. Ahlfors et Douglas (1936), Selberg et Schwarz (1950), Kunihiko et Serre (1954), Roth et Thom (1958), Hormander et Milnor (1962), Atiyah, Cohen, Grothendiek et Smale (1966), Baker, Heisuke, Novikov, Thompson (1970), Bombieri et Mumford (1974), Deligne, Fefferman, Quillen et Margoulis (1978), Connes, Thurston, Yau (1982), Faltings, Freedman et Donaldson (1986), Drinfeld, Jones et Shigefumi (1990), Lions, Yoccoz, Bourgain et Zelmanov (1994), Kontsevic, Borcherds, Gowers, McMullen (1998), Lafforgue et Voevodsky (2002), Okounkov, Perelman (a décliné le prix), Tao et Werner (2006), Lindenstrauss, Châu, Smirnov et Villani (2010), Ávila, Bhargava, Hairer et Mirzakhani (2014).

* Universitaire

Références

1. Evry Schaltzman. Pour une nouvelle pédagogie des sciences. Sciences & Vie, Education, ¹ 857, Février 1989, pp.40-44 et p.171.

2. Maurice Arvonny. Histoire d'Euclide aux géométries de l'impossible. Science & Vie-NÚ910- Juillet 1993, pp. 46-51